הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי הנושא: מתמטיקה מצרית הוכן ע"י: מאיר קשי. תקציר: בחומר מובאות בעיות מן המתמטיקה המצרית הקדומה כפי שהופיעו בפפירוס רינד. מוצג רישום מספרים בכתב הירוגליפי, מובאת שיטת הכפלת מספרים בשיטה המצרית, כלומר: שימוש בהצגתו של מספר כסכום חזקות בעלות בסיס ובעיות בשברים מצריים (שברי יחידה). בסוף החומר יש פתרונות לבעיות והערות למורה. מילות מפתח: היסטוריה של המתמטיקה, מתמטיקה מצרית, פפירוס רינד, כתב הירוגליפי, שברים, שבר יחידה, בסיס בינארי, פעולות חשבון כפל, חזקות, בעיות מילוליות, שיטת הניחוש, הנדסה, גיאומטריה, גיאומטרית המישור, הנדסת המישור, שטח מעגל, גיאומטרית המרחב, הנדסת המרחב, נפח פירמידה, חישוב מקורב של. π החומר הוגש במסגרת: "קשר-חם" - בחיפה, סדנא שלישית בשנה"ל תשנ"ה, ינואר 995. "קשר-חם" - בתל-אביב, סדנא שלישית בשנה"ל תשנ"ה, פברואר 995. "קשר-חם" - בבאר-שבע, סדנא שלישית בשנה"ל תשנ"ה, פברואר 995. החומר מכיל בנוסף לעמוד הפתיחה: 9 עמודים.
- - מתמטיקה מצרית הכתב המצרי העתיק ביותר היה כתב ציורים הנקרא הירוגליפים (כתב חרטומים) שהתפתח לפני שנת 000 לפנה"ס. סמלים מיוחדים שימשו לכתיבת מספרים מונים:,000,000 00,000 0,000,000 00 0 המספר הסמל המצרי שם הסמל מקל אנכי עצם העקב פקעת חוטים פרח הלוטוס אצבע מכוונת דג (הזקן) אדם מופתע על מנת למצוא את ערכו של מספר, יש לחבר את ערכי הסמלים שבאמצעותם הוא נכתב. הכתיבה היא מימין לשמאל. לדוגמה: המספר, נכתב כך: הפפירוס המתמטי של רינד,RHIND) 650 לפנה"ס) הכיל אוסף גדול של בעיות שנכתבו בצורה מאוחרת, בכתב רהוט שנקרא היראטי.(hieratic) חלק מאחת הבעיות מוצג כאן. מצאו את הערך המספרי של כל מספר המיוצג בכתב הירוגליפי. הערך המספרי המספר בכתב הירוגליפי האם ניתן להבחין בחוקיות במספרים? הסתכלו בזהירות וכשתמצאו את התבנית, תרגישו בטעות שהמחבר עשה כאשר העתיק בעיה זו בפפירוס רינד לפני כמעט 000 שנה. איזה מספר הירוגילפי אינו מתאים לתבנית? איך ניתן לתקן זאת?
- - פפירוס רינד הפפירוס המתמטיי של רינד, נותן לנו את מירב המידע אודות המתמטיקה המצרית הקדומה. הפפירוס נמצא בחורבות בנין קטן בת'אבס,(Thebes) אחת הערים המשגשגות במצרים הקדומה ליד הנילוס. ב- 858 נרכש על-ידי א. הנרי רינד Rhind).A) Henry ועל שמו הוא נקרא. מאוחר יותר הוא נרכש ע"י המוזיאון הבריטי. הפפירוסי עצמו הוא מגילה באורך של 5.6 מ' וברוחב של ס"מ בלבד, אשר בדרך נס, מרביתו השתמרה. חלק ניכר מהפפירוס של רינד, מכיל בעיות מתמטיות ואת פתרונותיהן. המספרים המופיעים בעמוד הקודם, נתקבלו מהבעיה הבאה: בעיה 79 מפפירוס רינד: בכל אחד מ 7 - בתים ישנם 7 חתולים. לכל חתול 7 עכברים. לכל עכבר 7 שיבולים. בכל שיבולת 7 גרגרי חיטה. כמה פריטים יש בסך הכל? כדי לענות על שאלה זו, יש לקבוע:. מהו סכום חמש החזקות הראשונות של? 7 6,807) ;,0 ; ; 9 ; (7 בפפירוס ניתנת התשובה הנכונה, אבל יש בה טעות בתוצאת המכפלה 7 x 7 x 7 x 7. מהו הסכום בכתב הירוגליפי. הכפלה בעזרת חזקות של החזקות של מתקבלות על ידי כפל רצוף ב- החל מהמספר :,,, 8, 6,, 6, 8, 56, 5, 0,... בנוסף, כל מספר ניתן להיכתב כסכום חזקות של. לדוגמה: 7 = + + = + + + 6 + 6 + 56 המצרים הקדומים השתמשו בשתי עובדות אלו בדרך בה כפלו שני מספרים. לדוגמה, כדי לחשב את המכפלה של 7 ב-, מבצעים את הצעדים הבאים: א. מציגים את המספר הקטן מבין שניהם (7) כסכום חזקות של ++=7 : ב. כופלים את המספר הגדול מבין שניהם (), בחזקות של (בכל צעד כופלים ב- ). ג. מסכמים את הכפולות המתאימות של, שהופיעו בצעד השני. המכפלה השיטה של כפל ב- בדיקה בשמוש בחוק הפילוג 7 x,0 = + 686 +,7 = 686 = ( x ) + ( x ) + ( x ) =,7 = ( + + ) x =,0 סה"כ = 7 x,,8 6 כי : +8+6=5 כאשר כופלים ב- 5 משתמשים רק בחזקות הבאות של : יש לכתוב את 57 כסכום חזקות של ולהשתמש בשיטת הכפל ב- למציאת המכפלה: 57. x 8 יש לכפול 8 ב- 5. נא להשתמש בשיטת הכפל ב- ולבצע את העבודה בהירוגליפים מצריים...
- - שברים מוזרים שברים מצריים נכתבו בדרך משונה מאד. כל שבר מצרי נוצר ממספר מונה מסוים ע"י לקיחת ההופכי שלו ולכן הם שברים שהמונה שלהם. שברים אלה נקראים שברי יחידה. השברים המצריים היו תמיד שברי יחידה (מלבד חריג אחד, שני שלישים). השברים זוהו על ידי סימן מיוחד מעל למספר המונה. נדגים את הסימן ע"י שימוש בנקודה: = 0 = 0 = = בעיה מפפירוס רינד: כיצד מחלקים 6 ככרות לחם בין 0 אנשים? תשובה: כל אחד יקבל 0 כלומר + = :0. 6 0 השבר הגדול ביותר נכתב ראשון ואותו שבר יחידה לא מופיע יותר מפעם אחת. נבדוק את התשובה הנ"ל ע"י הכפלה ב- 0. נא לשים לב כיצד משתמשים בשברים בשיטת הכפל ב- : 8 0 5 5 0 0 = + 8 0 לכן יש לחבר את השורות המתאימות ל- ול- 8. האם מתקבל 6? בעיה 6 בפפירוס רינד: כיצד מחלקים 9 ככרות לחם בין 0 אנשים? תשובה: כל אחד יקבל 5 0 כיפלו את התשובה ב- 0 והראו שמקבלים 9. השתמשו בשברים ובשיטה המצרית של כפל בחזקות של..5 נחשו את התשובה בפפירוס של רינד, מוצגת שיטה חכמה בה השתמשו המצרים בפתרון בעיות מסויימות. השיטה מבוססת על ניחוש ובדיקתו כמודגם להלן. בעיה 6 בפפירוס רינד: כאשר מוסיפים לכמות מסויימת רבע שלה מקבלים 5. מהי הכמות? נניח שהתשובה. נבדוק: ועוד רבע שלו, נותנים את הסכום 5 ולא 5. לכן, אינו ניחוש נכון. אבל 5 מכיל שלש פעמים את התוצאה שלנו (5). לכן נכפול את הניחוש שלנו () ב- ונקבל את התשובה הנכונה () לבעיה המקורית. ואכן כאשר מוסיפים לרבע ממנו מקבלים 5. נסו ניחוש אחר ובידקו אם מקבלים.
- - פיתרו את הבעיות הבאות מפפירוס רינד תוך שימוש בניחוש ובדיקתו: בעיה 5 בפפירוס רינד: כאשר מוסיפים לכמות את מחציתה מקבלים 6. מהי הכמות? (התחילו בהנחה ש- היא התשובה). בעיה 7 בפפירוס רינד: כאשר מוסיפים לכמות חמישית שלה, מקבלים התשובה). בעיה בפפירוס רינד: כאשר מוסיפים לכמות שביעית שלה, מקבלים 9. מהי הכמות?. מהי הכמות? (התחילו בהנחה ש- 5 היא.6.7.8 חידה חידה הדומה לבעיה 79 מפפירוס רינד מופיעה בספר מתמטיקה באיטלקית,Liber abaci שפורסם ב- 0, ואשר נכתב ע"י ליאונרדו פיבונאצ'י (הידוע גם כליאונרדו דה-פיזה). ייתכן שהיא היוותה גם השראה לשיר הבא מהמאה ה- 8: I was going to St. lves, I met a man with seven wives Every wife had seven sacks, Every sack had seven cats, Every cat had seven kits, Kits, cats, sacks, and wives, How many were there going to St. lves? התוכלו לפתור? כדאי לדעת ש... כותב הספרים אהמס (Ahmes) אשר העתיק את פפירוס רינד, כתב בעמוד הכותרת לפני הבעיות המתמטיות "חשיבה מדוייקת - שער הכניסה לכל הדברים המרגשים ולכל הסודות הכמוסים". הפפירוסים הומצאו ע"י המצרים והם עשויים מקני פאפו.(Papu) הקנים נפרסו לרצועות, יושרו בשכבה, הושרו במים, יובשו והוחלקו. עד סוף המאה ה- 9 שימשה השיטה המצרית של ניחוש ובדיקתו בהוראת מתמטיקה בארה"ב. היפטיה,(Hypatia) מהאוניברסיטה של אלכסנדריה במצרים היא המתמטיקאית הראשונה שהוזכרה בהיסטוריה של המתמטיקה. בשנת 5 אחרי הספירה היא נרצחה שם ע"י אספסוף בשל אמונתה הדתית. - - - -
- 5 - נתערב שאינכם יכולים לענות על... 8 בבעיות גיאומטריות בפפירוס רינד, נאמר ששטח מעגל שווה לריבוע של הקוטר שלו. 9 איזה קירוב של π מיוצג ע"י נוסחה זו? בכמה שונה ערך זה מהערך המדוייק של? π א. ב. ג. ד. ה. המצרים ידעו כיצד לחשב שטח של משולש, מלבן וטרפז. אבל חישוביהם לגבי שטחי מרובעים כלליים לא היו נכונים. כיצד מחשבים שטחים כאלה? על תלס ממילטוס (56-60 לפנה"ס) אבי הגיאומטריה היוונית, נאמר שהוא הרשים מאוד את המלך המצרי אמאסיס (Amasis) כאשר קבע את גובה הפירמידה על פי אורך הצל שלה. כיצד עושים זאת? פפירוס מוסקבה שגם הוא נמצא במצרים נכתב עוד לפני פפירוס רינד, (הערכה - 850 לפנה"ס). הוא מכיל 5 בעיות מתמטיות ונמצא עכשיו במוזיאון של מוסקבה. הוא בערך באותו אורך כמו פפירוס רינד אבל כרבע ממנו ברוחב. מה שטחו? בעיה בפפירוס מוסקבה, נותנת את הנפח הנכון של פירמידה ריבועית קטומה המתוארת בשרטוט. a a a a b h b ( a + ab b ) V = h + b b הפתרון הנכון לבעיה זו, נראה כשיא הגיאומטריה המצרית ונקרא "הפירמידה המצרית הגדולה ביותר". השתמשו בנוסחה זו למציאת הנפח של פירמידה ריבועית קטומה שצלע בסיסה התחתון ס"מ, צלע בסיסה העליון ס"מ וגובהה 6 ס"מ. התוכלו למצוא את המימדים ואת הנפח של הפירמידה המקורית ממנה התקבלה פירמידה קטומה זאת?
- 6 - הערות והארות למורים כתב הירוגליפים העמוד הראשון בחומר זה מציג את הסמלים בהם השתמשו בכתב החרטומים (הירוגליפים). הפעילות כוללת בעיה מעשית מפפירוס רינד ותרגום הסמלים ההירוגליפים לערכם המספרי. מציאת החוקיות בסידרת המספרים ואיתור השגיאה, מהוות התנסות טובה בפתרון בעיות. ניתן לבנות בעיות נוספות הדורשות תאור מספרים בצורה הירוגליפית. מומלץ לציין את התכונות של השיטה המצרית לכתיבת מספרים. לא היה בה ערך מקום. ערכיהם של סמלים בודדים חוברו יחדיו על מנת למצוא את התוצאה. כדאי להשוות זאת עם השיטה ההודית-ערבית לכתיבת מספרים המוכרת לנו, המבוססת על ערך המקום (שיטת הפוזיציה). פפירוס רינד חשוב להדגיש כי בכפל שני מספרים השתמשו רק בחזקות מסויימות של מתוך הנחה שכל מספר ניתן לביטוי באופן יחיד כסכום חזקות מתאימות של. שברי היחידה לגבי התלמידים מושג שבר היחידה עשוי להיות מושג חדש ולכן יש כאן צורך בתרגול. בנושא של פפירוס רינד רצוי לתת טבלאות לערכים שונים של שברי יחידה על מנת שתלמידים ישתמשו בהם במצבים שונים. בעיות נוספות מפפירוס רינד בעיות אלו נלקחו מפפירוס רינד, המכיל אוסף של בעיות מצריות עתיקות (בערך 650 לפנה"ס): א. ב. ג. ד. ה. כאשר מוסיפים לכמות חמישית ממנה מקבלים. מהי הכמות? כאשר מוסיפים לכמות, מחצית ממנה ועוד רבע ממנה מקבלים 0. מהי הכמות? מוסיפים לכמות ממנה. ועוד מהסכום שהתקבל, מפחיתים מהסכום ומקבלים 0. מהי הכמות? 00 ככרות חולקו בין 0 אנשים. 50 חולקו במידה שווה בין 6 אנשים ו- 50 במידה שווה בין אנשים. מה ההפרש בין החלקים? כמה ראשי בקר יש בעדר, אם מ- ממנו הם 70, שהוא המס שעל בעל העדר לשלם? בשולי הדברים הטלויזיה הירדנית שידרה ביוני 9 את החידה הבאה: איכר ציווה להוריש כרם זיתים לששת ילדיו בזו הלשון: לראשון עץ אחד ושביעית מהנותר. לשני, שני עצים ושביעית מהנותר. לשלישי, שלושה עצים ושביעית מהנותר. וכך הלאה, לשישי, ששה עצים ושביעית מהנותר. כאשר מילאו אחר צוואתו הופתעו לגלות שכל אחד זכה באותו מספר עצים. כמה עצים הוריש האיכר? ועוד החלק ובהכללה: את כרמו ציווה ל- n ילדיו. כאשר הילד שמספרו הסידורי k, קיבל k עצים k n ה- + n מהנותר. כמה עצים הוריש?
- 7 - תשובות הערכים המספריים,7.,9,,0 6,809 המספרים אמורים להיות חזקות עוקבות של 7. המספר הרביעי שגוי, היה צריך להיות,0. סכום חמש החזקות העוקבות של 7 הוא 9,607. הסכום בכתב הירוגליפי:.. 8 6 57=+6+8+ 8 66 66,8,656,7. 5 = + 8 + +. (0,70)
- 8-8 6 0 5 0 5 5 0 0 5 0 6 5 0 0 0 5 5 0 5 0.5 סכום המכפלות ב- וב- 8 הוא 9. + = 6 : = 5 ניחוש התחלתי: הכמות היא. 5 = 0.6 5 + = 6 : 6 = ניחוש התחלתי: הכמות היא 5. 5 = 7.7 7 + = 8 9 : 8 = 8 ניחוש התחלתי, הכמות היא 7. 5 7 = 6 8 8.8 חידת "חתלתולים" יש להוסיף את כותב השיר למספר ההולכים המוזכרים בשיר. + ( + 7 + 7 + 7 + 7 ) =, 80 נתערב שאינכם יודעים לענות על... 8 A = d 9 6 = r 9 56 (.605), A = π r הקירוב המצרי ל- π היה או 8 8 ' 6. '. לכן בפפירוס מוסקבה הרוחב רק 8.5 ס"מ כלומר שטחו,60 סמ"ר.. = 56 8 r א. ד. מאחר ו - מימדי פפירוס רינד. ( 560 8.5 =,60) מ 5 מ 0 V = h ( a + ab + b ) = 6( + 6) = h ( : 56 סמ"ק )= + : ( h = ) ה. נפח פירמידה קטומה נפח הפרמידה המקורית V = B h = 6 סמ"ק = 6
- 9-5 6 9 בעיות נוספות מפפירוס רינד. 5 ב. 5 א. 7 7 ג. ד. ה. בשולי הדברים: האכר הוריש 6 עצים בהכללה n עצים. מקורות בן עמי צרפתי ג., מונחי המתמטיקה בספרות המדעית העברית של ימי הביניים. הוצאת י. האוניברסיטה העברית, עמ' -6. מגנס, ל... National Council of Teachers of Mathematics (98). Egyptian Mathematics. Student Math Notes, May 98.